Levelezős csapatverseny – 3. feladatsor

I. feladat – 13 pont

Jancsika az accrai Kotoka Nemzetközi Reptérre érve tudta meg, hogy a járatot amire a jegye szólt törölték, így csak New Yorkon keresztül tud hazautazni frankfurti átszállással. A következő 16 órát, vagyis az indulásig tartó időt, a reptéri magazinban talált fejtörő megoldásának szentelte.

I. Az alábbi listában igaz, hamis, és megoldatlan (2012. dec. 31-ig nincs a matematikus társadalom által elfogadott megoldásuk) állítások szerepelnek. Találjátok ki minél többről, melyik csoportba tartozik. Pontozzuk az igaz állításokra adott bizonyításokat, a hamisakra adott cáfolatokat, és a lista alapján levont egyéb következtetéseket.

Segítség: a feladatsoron belüli hivatkozások egy kivételével igazak.

  1. Minden hármagasságpontja a háromszögön belülre esik.
  2. Létezik olyan szám, amelynek a 7. hatványa 7777777-re végződik.
  3. Minden páros pozitív egész előáll legfeljebb két prím összegeként.
  4. Az ötödik és a második állítás közül pontosan egy igaz.
  5. A harmadik állításra széles körben ismert csak középiskolás eszközöket használó bizonyítás.
  6. Ha hétszer egymás után dobunk egy dobókockával, ugyanannyi az esélye annak, hogy {a dobott számok összege páratlan}, mint annak, hogy {hamarabb dobunk kettest, mint ötöst, feltéve, hogy kettest és ötöst is dobunk}.
  7. Minden 22k+1 alakú szám prím.
  8. Ha van három ház, és három kút, és minden háztól minden kútig vezet egy út, akkor van az utak között kettő olyan, amik keresztezik egymást.
  9. A hetedik állítás pontosan akkor igaz, ha az első nyolc állításból legalább kettő megoldatlan probléma.
  10. Egy n csúcsú fagráf csúcsait megcímkézhetjük az {1, 2, ..., n} számokkal (mindegyiket pontosan egyszer használva) úgy, hogy az élekre a végpontjaik címkéinek különbségét írva pontosan az {1, 2, ..., n-1} számokat kapjuk.
  11. Ha egy kockát egy síkkal elmetszve egy szabályos sokszöget kapunk, akkor az egy szabályos háromszög vagy egy négyzet.
  12. 9 ember között mindig van 3, akik közül mindenki mindenkinek barátja, vagy 4, akik közül senki senkinek sem barátja.
  13. Az első tizenkét kérdésben a megoldatlanok száma, a hamisak száma és az igazak száma egy háromtagú számtani sorozatot alkot.
  14. Végtelen sok 2p-1 alakú prímszám van.
  15. A kakaó és az alkoholmentes sör közül pontosan az egyiket szeretem.
  16. Minden nemnulla természetes számhoz létezik a Fibonacci sorozatnak olyan eleme, ami osztható az adott számmal.
  17. Egy üres rácstetraéder térfogata mindig azonos. (3 dimenzióban az a síkbeli tétel, hogy minden üres rácsháromszög területe 1/2)
  18. Ha adott egy véges halmaz, és a részhalmazainak egy nemüres, és nem csak az üres halmazt tartalmazó rendszere, amely zárt az unióképzésre (a halmazrendszer bármely kettő elemének az uniója is eleme a halmazrendszernek), akkor a halmaznak biztosan van olyan eleme, ami a halmazrendszer elemeinek legalább a felében benne van.
  19. A 13-14-15-16-17-18 kérdések között különböző paritású darab megoldatlan és hamis állítás van, de az igaz és hamis állítások számának paritása megegyezik.
  20. Egy Artin-gyűrű Jacobson-radikálja szerinti faktora véges sok, ferdetest feletti mátrixgyűrű direkt szorzatával izomorf.

Vissza a feladatsorhoz | I. feladat | II. feladat | III. feladat | IV. feladat | V. feladat | VI. feladat | VII. feladat | VIII. feladat | IX. feladat | X. feladat | XI. feladat

 

 

A verseny kereteit a TÁMOP - 4.2.2/B-10/1-2010-0030
„Önálló lépések a tudomány területén” pályázat biztosította.